Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA AUGUSTI 2014

Transkript

1 Institutionen för tillämpad mekanik, halmers tekniska högskola TETME I HÅFSTHETSÄR F MH 81 1 UGUSTI 14 Tid och plats: i M huset. ärare besöker salen ca 15. samt Hjälpmedel: ösningar 1. ärobok i hållfasthetslära: Hans undh, Grundläggande hållfasthetslära, Stockholm,.. Handbok och formelsamling i hållfasthetslära, KTH, eller utdrag ur denna; vid Inst. for tillämpad mekanik utarbetad formelsamling. 3. ublicerade matematiska, fysiska och tekniska formelsamlingar. Medtagna böcker får innehålla normala marginalanteckningar, men inga lösningar till problemuppgifter. ösa anteckningar i övrigt är inte tillåtna. Vid tveksamma fall: kontakta skrivningsvakten innan hjälpmedlet används. 4. Typgodkänd miniräknare. ärare: eter Möller, tel (77) 155 ösningar: nslås vid ingången till institutionens lokaler /8. Se även kurshemsidan. oängbedömning: Varje uppgift kan ge maimalt 5 poäng. Mapoäng på tentan är 5. etygsgränser: 1 14p ger betyg 3; 15 19p ger betyg 4; för betyg 5 krävs minst p. Ytterligare 1 poäng ges för varje korrekt löst inlämningsuppgift under kursens gång (lp 4 14) dock krävs ovillkorligen minst 7 poäng på tentamen. För att få poäng på en uppgift ska lösningen vara läslig och uppställda ekvationer/samband motiveras (det ska vara möjligt att följa tankegången). nvänd entydiga beteckningar och rita tydliga figurer. Kontrollera dimensioner och (där så är möjligt) rimligheten i svaren. Resultatlista: Granskning: nslås senast 1/9 på samma ställe som lösningarna samt på kurshemsidan. Resultaten sänds till betygsepeditionen senast 5/9. Tisdag / samt torsdag 4/ på inst. (a våningen (plan 3) i södra trapphuset, nya M huset). Uppgifterna är inte ordnade i svårighetsgrad /WM

2 1. Stångbärverket i figuren består av två stänger, med aialstyvheten och med aialstyvheten, som är förenade i en punkt vars horisontalförskjutning är förhindrad. Stången har längden 5, medan har ett passningsfel «så dess längd före monteringen är 5 +. estäm hur mycket knuten förskjuts på grund av passningsfelet. (5p). Spänningstillståndet i en punkt i en belastad kropp ges av spänningstensorn S σ τ y τ z τ y σ y τ yz τ z τ zy σ z [Ma] Materialet är lineärt elastiskt ideal plastiskt med sträckgräns 198 Ma. a: estäm normalspänningen, σ, och skjuvspänningen, τ, på planet med normalvektorn n T 14 (p) b: Hur stor är säkerheten mot plasticering enligt Trescas hypotes? (p) c: Hur stor är säkerheten mot plasticering enligt von Mises hypotes? (1p) 3. En dubbelsidigt fast inspänd balk, tillverkad av ett lineärt q( ) elastiskt material, har konstant böjstyvhet och längd. Den belastas av en utbredd last med intensitet (kraft/ längd) q( ) q 1 + < < q 1 < < a: estäm snittmomentet M( ) i balkens högra halva ( ). (3p) 5q b: Maimala snittmomentet är. alken ska ha ett massivt cirkulärt tvärsnitt med diameter 96 D. Hur stort måste D vara, om maimalt tillåten normalspänning är σ till 1 Ma och om 3, m och q 1, k/m? (p) /WM

3 4. Ramen består av två balkar, vardera med längden och böjstyvheten. Vid angriper en vertikalt riktad kraft ; bestäm förskjutningen av stödet vid. Endast böjdeformationer behöver beaktas. (5p),, 5. eräkna kritisk last kr med avseende på elastisk stabilitet för konstruktionen i figuren. Observera att balkarna i de två spannen, respektive, har olika längd och olika böjstyvhet. Fleibiliteten hos pelaren D får försummas (d v s den får betraktas som oändligt styv). (5p) D ösning 1: Frilägg knut. Vertikal jämvikt ger att de båda stångkrafterna måste vara lika:. sinα 1 5 α H α δ etrakta en förskjutning δ nedåt av knuten; stången förlängs då + δsinα, där är stångens hoptryckningen δ då knutpunkt befinner sig i det ursprungliga läget, medan förlängningen av blir δ sinα. δsinα Med (undh ekv 14) 5 δ samt 5 - δ fås - δ δ δ δ 5 Jämviktssambandet ger då, så δ (nedåt) ösning a: Spänningsvektorn s på en yta med normalen n fås som (undh ekv 9 8) s Sn. Med den givna spänningstensorn S finner vi att s blir en noll vektor. åde normal och skjuvspänningen blir alltså noll: σ τ. (Eftersom skjuvspänningen är noll, är σ en huvudspänning) ösning b: Effektivspänningen enligt Trescas hypotes, fås som skillnaden mellan största och minsta huvudspänningen (undh ekv 1 14 eller formelsamling sid 14). Huvudspänningarna fås som egenvärdena till spänningstensorn (se undh avsnitt 9..4) /WM

4 det( S σi) ( σ) ( σ + 48σ 378) [Ma] 3 Vi finner då 4 Ma, σ Ma samt σ 3 9 Ma och effektivspänningen enligt Tresca blir σ 1 σ 1 σ 3 13 Ma ; säkerheten mot plasticering är då - 1,5 ösning c: Effektivspänningen enligt von Mises flythypotes räknas ut enlig undh ekv 1 4 eller 1 6, alternativt formelsamlingen sid 14. Med det givna spänningstillståndet fås 117 Ma och säkerheten mot plasticering enlig von Mises blir - 1,7 ösning 3a: Vi använder den styrande differentialekvationen (undh ekv 7 67) för att beräkna transversalförskjutningen w( ) ; snittmomentet fås sedan som M w'' (undh ekv 7 65). Med d w q( ) konstant böjstyvhet har vi differentialekvationen ; för intervallet får vi efter d 4 < < integration w D 3 q , där,, och är integrationskonstanter D Symmetrivillkoret w( ) w( ) ger att D. q Vi har då 3 w' och randvillkoret ger att. ( kan nu dw q - d 64 beräknas med randvillkoret w, men behövs inte här). 4 u fås w'' q q och momentet blir M w'' q ösning 3b: ormalspänningen beräknas som (undh ekv 6) σ Mz πd 4, där I - I 64 för ett massivt cirkulärt tvärsnitt (formelsamling sid 6). Vi får då σ ma 5q D Mz - ma I πd q 3πD 3 Villkoret σ ma σ till 5q ger oss 1 3 D - 78 mm 3πσ till /WM

5 ösning 4: Om vi inför en horisontell kraft stödet, kan den sökta förskjutningen beräknas med vid astiglianos :a sats (undh ekv 15 96): δ W. Här är W den elastiska energin i strukturen; om endast böjdeformation beaktas är (undh ekv 15 5) W ds, där integrationen är över hela bärverkets längd. Kraft s M och momentjämvikt ger stödreaktioner enligt figuren. Snitta nu mellan och, på ett godtyckligt avstånd från. Momentjämvikt ger snittmomentet T M M( ) så M. astiglianos :a sats ger nu, med utnyttjande av sym- metrin δ M M - d d 3-6 ösning 5: etrakta konstruktionen i utböjt läge; vinkeln θ är liten, d v s vi tittar på konstruktionen kr just i det läge den knäcker ut. I figuren är endast snittmomenten vid utritade normal och tvärkrafter visas ej. Momentjämvikt vid för pelaren θ M D D ger ett kr θ där vi utnyttjat att sin θ θ. M D M Elementarfall sid 9 ger θ M 3 samt M 3 θ M för delarna respektive. Detta ger att M. Momentjämvikt 3 M θ för den utsnittade delen vid ger att M D M M, så att vi får kr θ 3 θ. Ur detta löses kr /WM

6 Institutionen för tillämpad mekanik, halmers tekniska högskola TETME I HÅFSTHETSÄR F MH 81 1 UGUSTI 14 Tid och plats: i M huset. ärare besöker salen ca 15. samt Hjälpmedel: ösningar 1. ärobok i hållfasthetslära: Hans undh, Grundläggande hållfasthetslära, Stockholm,.. Handbok och formelsamling i hållfasthetslära, KTH, eller utdrag ur denna; vid Inst. for tillämpad mekanik utarbetad formelsamling. 3. ublicerade matematiska, fysiska och tekniska formelsamlingar. Medtagna böcker får innehålla normala marginalanteckningar, men inga lösningar till problemuppgifter. ösa anteckningar i övrigt är inte tillåtna. Vid tveksamma fall: kontakta skrivningsvakten innan hjälpmedlet används. 4. Typgodkänd miniräknare. ärare: eter Möller, tel (77) 155 ösningar: nslås vid ingången till institutionens lokaler /8. Se även kurshemsidan. oängbedömning: Varje uppgift kan ge maimalt 5 poäng. Mapoäng på tentan är 5. etygsgränser: 1 14p ger betyg 3; 15 19p ger betyg 4; för betyg 5 krävs minst p. Ytterligare 1 poäng ges för varje korrekt löst inlämningsuppgift under kursens gång (lp 4 14) dock krävs ovillkorligen minst 7 poäng på tentamen. För att få poäng på en uppgift ska lösningen vara läslig och uppställda ekvationer/samband motiveras (det ska vara möjligt att följa tankegången). nvänd entydiga beteckningar och rita tydliga figurer. Kontrollera dimensioner och (där så är möjligt) rimligheten i svaren. Resultatlista: Granskning: nslås senast 1/9 på samma ställe som lösningarna samt på kurshemsidan. Resultaten sänds till betygsepeditionen senast 5/9. Tisdag / samt torsdag 4/ på inst. (a våningen (plan 3) i södra trapphuset, nya M huset). Uppgifterna är inte ordnade i svårighetsgrad /WM

7 1. Stångbärverket i figuren består av två stänger, med aialstyvheten och med aialstyvheten, som är förenade i en punkt vars horisontalförskjutning är förhindrad. Stången har längden 5, medan har ett passningsfel «så dess längd före monteringen är 5 +. estäm hur mycket knuten förskjuts på grund av passningsfelet. (5p). Spänningstillståndet i en punkt i en belastad kropp ges av spänningstensorn S σ τ y τ z τ y σ y τ yz τ z τ zy σ z [Ma] Materialet är lineärt elastiskt ideal plastiskt med sträckgräns 198 Ma. a: estäm normalspänningen, σ, och skjuvspänningen, τ, på planet med normalvektorn n T 14 (p) b: Hur stor är säkerheten mot plasticering enligt Trescas hypotes? (p) c: Hur stor är säkerheten mot plasticering enligt von Mises hypotes? (1p) 3. En dubbelsidigt fast inspänd balk, tillverkad av ett lineärt q( ) elastiskt material, har konstant böjstyvhet och längd. Den belastas av en utbredd last med intensitet (kraft/ längd) q( ) q 1 + < < q 1 < < a: estäm snittmomentet M( ) i balkens högra halva ( ). (3p) 5q b: Maimala snittmomentet är. alken ska ha ett massivt cirkulärt tvärsnitt med diameter 96 D. Hur stort måste D vara, om maimalt tillåten normalspänning är σ till 1 Ma och om 3, m och q 1, k/m? (p) /WM

8 4. Ramen består av två balkar, vardera med längden och böjstyvheten. Vid angriper en vertikalt riktad kraft ; bestäm förskjutningen av stödet vid. Endast böjdeformationer behöver beaktas. (5p),, 5. eräkna kritisk last kr med avseende på elastisk stabilitet för konstruktionen i figuren. Observera att balkarna i de två spannen, respektive, har olika längd och olika böjstyvhet. Fleibiliteten hos pelaren D får försummas (d v s den får betraktas som oändligt styv). (5p) D ösning 1: Frilägg knut. Vertikal jämvikt ger att de båda stångkrafterna måste vara lika:. sinα 1 5 α H α δ etrakta en förskjutning δ nedåt av knuten; stången förlängs då + δsinα, där är stångens hoptryckningen δ då knutpunkt befinner sig i det ursprungliga läget, medan förlängningen av blir δ sinα. δsinα Med (undh ekv 14) 5 δ samt 5 - δ fås - δ δ δ δ 5 Jämviktssambandet ger då, så δ (nedåt) ösning a: Spänningsvektorn s på en yta med normalen n fås som (undh ekv 9 8) s Sn. Med den givna spänningstensorn S finner vi att s blir en noll vektor. åde normal och skjuvspänningen blir alltså noll: σ τ. (Eftersom skjuvspänningen är noll, är σ en huvudspänning) ösning b: Effektivspänningen enligt Trescas hypotes, fås som skillnaden mellan största och minsta huvudspänningen (undh ekv 1 14 eller formelsamling sid 14). Huvudspänningarna fås som egenvärdena till spänningstensorn (se undh avsnitt 9..4) /WM

9 det( S σi) ( σ) ( σ + 48σ 378) [Ma] 3 Vi finner då 4 Ma, σ Ma samt σ 3 9 Ma och effektivspänningen enligt Tresca blir σ 1 σ 1 σ 3 13 Ma ; säkerheten mot plasticering är då - 1,5 ösning c: Effektivspänningen enligt von Mises flythypotes räknas ut enlig undh ekv 1 4 eller 1 6, alternativt formelsamlingen sid 14. Med det givna spänningstillståndet fås 117 Ma och säkerheten mot plasticering enlig von Mises blir - 1,7 ösning 3a: Vi använder den styrande differentialekvationen (undh ekv 7 67) för att beräkna transversalförskjutningen w( ) ; snittmomentet fås sedan som M w'' (undh ekv 7 65). Med d w q( ) konstant böjstyvhet har vi differentialekvationen ; för intervallet får vi efter d 4 < < integration w D 3 q , där,, och är integrationskonstanter D Symmetrivillkoret w( ) w( ) ger att D. q Vi har då 3 w' och randvillkoret ger att. ( kan nu dw q - d 64 beräknas med randvillkoret w, men behövs inte här). 4 u fås w'' q q och momentet blir M w'' q ösning 3b: ormalspänningen beräknas som (undh ekv 6) σ Mz πd 4, där I - I 64 för ett massivt cirkulärt tvärsnitt (formelsamling sid 6). Vi får då σ ma 5q D Mz - ma I πd q 3πD 3 Villkoret σ ma σ till 5q ger oss 1 3 D - 78 mm 3πσ till /WM

10 ösning 4: Om vi inför en horisontell kraft stödet, kan den sökta förskjutningen beräknas med vid astiglianos :a sats (undh ekv 15 96): δ W. Här är W den elastiska energin i strukturen; om endast böjdeformation beaktas är (undh ekv 15 5) W ds, där integrationen är över hela bärverkets längd. Kraft s M och momentjämvikt ger stödreaktioner enligt figuren. Snitta nu mellan och, på ett godtyckligt avstånd från. Momentjämvikt ger snittmomentet T M M( ) så M. astiglianos :a sats ger nu, med utnyttjande av sym- metrin δ M M - d d 3-6 ösning 5: etrakta konstruktionen i utböjt läge; vinkeln θ är liten, d v s vi tittar på konstruktionen kr just i det läge den knäcker ut. I figuren är endast snittmomenten vid utritade normal och tvärkrafter visas ej. Momentjämvikt vid för pelaren θ M D D ger ett kr θ där vi utnyttjat att sin θ θ. M D M Elementarfall sid 9 ger θ M 3 samt M 3 θ M för delarna respektive. Detta ger att M. Momentjämvikt 3 M θ för den utsnittade delen vid ger att M D M M, så att vi får kr θ 3 θ. Ur detta löses kr /WM