Tekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl 8-12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) LÖSNINGAR

Transkript

1 TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl -12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) LÖSNINGAR 1. Skjuvpänningarna i en balk utsatt för transversell last q() kan beräknas med formeln τ y = TS A Ib Detta uttryck är relaterat (kopplat) till ett koordinatsystem Oyz. Ange vad de ingående storheterna är, inklusive koordinatsystemets läge och orientering av koordinatriktningarna, y och z. Ange enhet på ingående storheter. Koordinatsystemets origo ligger... i balktvärsnittets tyngdpunkt, -aeln ligger... längs balken (m), y-aeln ligger... tvärs balken, oftast horisontellt (m), z-aeln ligger... tvärs balken, oftast vertikalt (m), τ y är... skjuvspänningen i tvärsnittet (Pa), T är... tvärkraft i z-riktningen (N) S A är... statiskt ytmoment (m 3 ) för den "avskjuvade" arean A (med avseende på y-aeln), A är... "avskjuvad" area, d v s area på ena sidan av en linje där man vill bestämma skjuvspänningen, I är... yttröghetsmomentet (m 4 ) (i regel med avseende på y-aeln), b är... längden (m) av den linje som avgränsar arean A. 6

2 TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl -12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 2. I en balk kan man i ett allmänt fall ha (minst) se olika snittstorheter. Ange (namnge) de se snittstorheter vi studerat i kursen (ange även enheter) och lägg in dem i figuren. y z En aialkraft N, två tvärkrafter T y och T z, ett vridande moment M = M v och två böjande moment M y och M z, se figur 4, Kapitel 11 i läroboken. M y T y T z N M M z 3. När får Hookes lag användas? Ge också ett eempel när Hookes lag inte får användas. Hookes lag får användas så länge man kan approimera spännings-töjningssambandet med en rät linje, d v s så länge materialet kan anses vara linjärt elastiskt. Om materialet plasticerar är inte längre spännings-töjningssambandet en rät linje och Hookes lag kan inte användas (för de plastiska deformationerna). 7

3 TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl -12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 4. En konsolbalk AB (längd 2L, böjstyvhet 2EI) P belastas vid sin fria ände B med en kraft P (N), A 2L, 2EI B M D se figur. Man finner att böjmomentet vid A blir L, EI för stort, varför man stödjer ytteränden B med MA C D ytterligare en kosolbalk CD (längd L, böjstyvhet αei). Bestäm den böjstyvhet man bör välja hos balken CD (bestäm α) för att momentet i A ska bli detsamma som momentet i D. Elementarfall: Konsolbalk P L, EI z w() w()= PL3 6EI w(l)= PL3 3EI 3 2 L 3 2 L 3 w (L)= PL2 2EI q 0 (N/m) w()= q 0 L 4 24EI 4 L L L 2 z L, EI w() w(l)= q 0 L 4 EI w (L)= q 0 L 3 6EI Kraften R förs över till balken CD. Lasten på balken AB blir då P R. Samma moment vid A och D ger (P R)2L = RL vilket ger R =2P/3. Bestäm α så att R =2P/3. Man får (samma förskjutning av balken AB och CD) vilket ger α = 1/2. (P / 3)(2L) 3 3 (2P / 3) L = 3 2EI 3 αei

4 TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl -12 DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel) (6) /4 (5) (4) L, E, A 2 L, E, A (1) (3) (2) L, E, A P 5. Ett stångbärverk bär lasten P enligt figur (fyra stänger med E-modul E, area A, längd L och två stänger med E, A och 2 L, vinklar π/4 respektive π/2). Bestäm samtliga stångkrafter i bärverket. S6 S5 S S 1 3 S4 S 2 P Snitta och för in snittkrafter S i i stängerna. OBS att stödreaktionerna vid väggen inte ritats ut (men de finns där ändå). Teckna kraftjämvikt för knutarna. Man får för knuten längst ut : : S 1 2 P = 0 som ger S 1 = 2 P S 2 + S 1 2 = 0 som ger S 2 = P För övre knuten: : : För nedre knuten: : : S S 3 = 0 som ger S 3 = S 1 2 = P S 6 S 1 2 = 0 som ger S 6 = P S 3 + S 5 2 = 0 som ger S 5 = 2 S 3 = 2 P S 4 + S 5 2 S 2 = 0 som ger S 4 = 2P (Kraften S 4 kan även fås ur momentjämvikt med avseende på övre vänstra knuten för hela bärverket: S 4 L + P 2L = 0 ger S 4 = 2P. På knutarna vid väggen verkar även stödreaktioner som kan bestämmas nu när stångkrafterna är kända. 9

5 TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl -12 DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel) q (N/m) 6. En konsolbalk ABCD är 3L lång och belastas med en jämnt utbredd last q (N/m) längs den L L L, EI yttre delen BD, som är 2L (BC = CD = L). Balken har E-modul E och yttröghetsmoment I. A B C D Bestäm balkens utböjning (= w(2l)) vid C. (Valfri metod, men elementarfall kan vara en god idé). Snitta i B och lägg in tvärkraft P och moment M på delen AB i B. Konsolbalken AB belastas alltså med kraften P = q 2L (N) och momentet M = q 2L 2 (Nm) i B. Kraften P och momentet M ger förskjutningen och vinkeln δ= PL3 3EI + ML2 q2l L3 = + q2l 2 L 2 = 5 ql4 2EI 3EI 2EI 3 EI θ= PL2 2EI + ML EI = q 2L L2 2EI + q 2L 2 L EI = 3 ql3 EI Delen BD kan nu behandlas som en konsolbalk infäst i B, där B förskjutits sträckan δ nedåt och balken lutar θ vid B. Förskjutningen vid C blir då, med elementarfall för konsolbalk (2L) belastad med lasten q (N/m), =δ+θ L + q(2l) EI = ql4 EI Svaret kan även fås genom att man beräknar utböjningen för en balk (3L) belastad med q längs hela balken, minus utböjningen i =2Lpå grund av last q på delen AB. Det ger = q(3l)4 24EI = 43 ql 4 EI ql4 EI ql3 6EI L = 43 ql 4 EI 10

6 TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl -12 DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel) A L B tvärsnitt: y q (N/m) 2 L, EI D 3t t t 3 t 7. Balken i uppgift 6 har ett tvärsnitt som består av fyra lika delar (3t gånger t) monterade enligt figur. Bestäm maimal skjuvspänning i balken på grund av lasten q. t z Skjuvspänningen bestäms med formeln Här gäller, för erhållande av maimal skjuvspänning, som blir vid y-aeln, T = q 2L S A för halva tvärsnittet (ena sidan av y-aeln): I beräknas med Steiners sats: och b =2t Man får τ= TS A Ib S A = 3t t 2t + 2 1, 5t t 0, 75t =, 25t 3 I = 2 3t t 3 12 τ= TS A Ib + 3t t (2t)2 + 2 t(3t)3 12 = 29 t 4 = q 2L, 25t 3 (29 t 4 ) 2t 33 ql ql = = 0, t t 2 11

7 TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl -12 DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel) plast plast. En cirkulär plastskiva, innerradie a och ytterradie b, monteras på en stel ael med radie a + κa, där κ << 1. Vi har alltså här ett stel a krympförband. Hela anordningen roterar med en vinkelhastighet ω. Vilket radiellt grepp κa b måste man minst ha för att skivan ej ska släppa från aeln vid rotationen? Plastskivan har E-modul E, tvärkontraktionstal ν och densitet ρ. Greppet κa måste vara så stort att skivans radieökning vid rotationen inte överstiger greppet. Bestäm därför först den radieökning man får hos skivan på grund av rotationen. Rotationen ger upphov till spänningar (Kap 16, ekv (32) i läroboken) σ r = A B r 3 +ν ρω 2 r 2 2 Randvillkor ger konstanterna A och B. Anta nu att skivan just släpper från aeln vid rotationshastigheten ω. Då blir randvillkoren RV1: σ r (a) = 0, som ger σ r (a)=a B a 3 +ν ρω 2 a 2 = 0 2 RV2: σ r (b) = 0, som ger σ r (b)=a B b 3 +ν ρω 2 b 2 = 0 2 Detta ekvationssystem ger B = 3 +ν ρω 2 a 2 b 2 och A = 3 +ν ρω 2 (a 2 + b 2 ) Nu kan skivans epansion på grund av rotationen bestämmas. Man får, med (31) och (34a,b) i läroboken, Kap 16, u(r)= 1 ν E Ar+ 1 +ν E B r 1 ν2 E ρω2 r 3 12

8 Sätt in r = a, A och B. Det ger u(a) = (1 ν) E (3 +ν) ρω 2 (a 2 + b 2 ) a + (1 +ν) E (3 +ν) ρω 2 a 2 b 2 1 a (1 ν2 ) ρω 2 a 3 E = ρω2 a E {(1 ν)(3 +ν)(a 2 + b 2 )+(1 +ν)(3 +ν)b 2 (1 ν 2 ) a 2 } = ρω2 a 4E {a 2 (1 ν)+b 2 (3 +ν)} Det radiella greppet måste således vara minst u(a) för att skivan inte ska släppa vid rotation. 13