Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Rambärverk. Projektuppgift 2 Hållfasthetslärans grunder Våren 2012

Transkript

1 Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Rambärverk Projektuppgift Hållfasthetslärans grunder Våren 01

2 Rambärverk 1 Knut Balk Knut 3 Balk 1 Balk 3 Knut 1 Knut 4 1 Figure 1: Rambärverk med tre balkar sammanbundna i momentstyva knutpunkter. Två av knutpunkterna är låsta 1 och 4 de övriga är fria. Inledning Ett rambärverk är ett bärverk som består av ett antal balkar sammankopplade i momentstyva knutpunkter. I gur 1 illustreras ett rambärverk med tre balkar och fyra knutpunkter. Knutpunkterna 1 och 4 är låsta eller fast inspända och de övriga fria. Deformation och last för en enskild balk Tillåtna förskjutningar i en enskild balk illustreras i gur. Balken i guren går från punkt 1 har koordinaten (x 1 ) till punkt med koordinaten (x ). Knutpunkterna kan förskjutas vinkelrät mot balkens axel, (u 1 ) och (u ) samt vinkeländras: (u 1 ) och (u ). Varje enskild balk kan bära krafter som motsvarar frihetsgraderna, det vill säga transversell kraft T och moment M. Positiv tvärkraft T antas vara positiv om den pekar i den lokala y- axelns riktning i ett snitt enligt gur 3 och momentet, M är positivt när det verkar så att underkant balk blir dragen. Förskjutningsmetod för balkar Beskrivning av generella förskjutningsmetoder för att beräkna krafter och deformationer i fackverk, ramar och andra strukturer nns att läsa till exempel i Hibbeler [1] bland många andra. Vid stora rambärverk är det lämpligt att använda generella beräkningsprogram för beräkning av krafter och deformationer. Programmen nyttjar matrisformulering för att etablera jämviktssamband för hela systemet, globala jämviktssamband. Med givna randvillkor i form av förskjutningar och yttre laster kan förskjutning i enskilda knutpunkter beräknas. Baserat på knutpunktsförskjutningar kan sedan krafter för enskilda balkar beräknas. 1

3 Rambärverk u 1 u u' (x ) (x 1 ) u' 1 Figure : Balk i ett bärverk med momentstyva knutpunkter. Balkens ändpunkter ansluter till två knutar: punkt 1 har koordinaten (x 1 ) till punkt vid (x ). Möjliga förskjutningar i knutpunkterna är förskjutning vinkelrät balkens axel, (u 1 ) och (u ) samt vinkeländring i knutpunkterna: (u 1 ) och (u ). M 1 T 1 T M (x 1 ) (x ) Figure 3: Figuren illustrerar de krafter som en balk kan uppta är tvärkraft vinkelrät balkens axel, (T 1 ) och (T ) samt moment, (M 1 ) och (M ). Krafterna hör ihop med frihetsgraderna illustrerade i gur.

4 Rambärverk 3 Ett element med enbart tvärkraft och moment kan bara användas i balkberäkningar för balkar med många stöd i en dimension. En generell formulering för beräkning av ramar i två dimensioner får man om man kombinerar formuleringen för balkelement med formulering för ett stångelement. På så sätt kan man överföra krafter mellan knutpunkter även längs stängerna. Vektorer och matriser för ett balk element En balk går från punkt 1 till punkt på lokala x-axeln. I varje punkt nns två frihetsgrader, förskjutning vinkelrät mot x-axeln, u y och vinkeländring, u. Förskjutningarna i balkens ändpunkter skrivs i vektorform: u e = u e1y u e1 u ey u e1 (1) aster i ändpunkterna består av tvärkraft och moment och kan i vektorform skrivas som F e = F e1y M e1 F ey M e Samband mellan last och förskjutning skrivs då där K e kallas elementstyvhetsmatris och skrivs K e = 1EI 6EI 3 1EI 6EI 3 () F e = K e u e (3) 6EI 4EI EI 1EI 3 1EI 3 6EI EI 4EI (4) med E elasticitetsmodul för balkens material, I balktvärsnittets areatröghetsmoment och betecknar balkelementets längd. Rambärverk I plana rambärverk kopplas era balkar med godtycklig riktning ihop i knutpunkter. Knutpunkternas positioner och balkarnas utsträckning kommer då att beskrivas med koordinater i x-y-planet. aster och förskjutningar kommer då även att verka längs balkens utsträckning. För att få ett element som bättre avbildar kraftöverföring i en verklig ram brukar man kombinera stång- och balkelement i beräkningsprogram för rambärverk. Förskjutningarna i balkens ändpunkter skrivs i vektorform: u e = 3 u e1x u e1y u e1 u ex u ey u e (5)

5 Rambärverk 4 aster i ändpunkterna består av krafter i x- och y-led samt moment. Den lokala lastvektorn kan då skrivas som Stångelement F e = F e1x F e1y M e1 F ex F ey M e Från Projektuppgift 1: Fackverk kan vi återanvända den lokala styvhetsmatrisen för ett stångelement K e = [ EA EA där A är elementets tvärsnittsarea. Elementets styvhetsmatris kan då skrivas som: K e = ast på balkelement AE EA EA 0 0 AE 0 0 1EI 6EI 0 0 1EI 6EI 3 3 6EI 4EI 0 0 EI AE AE EI 1EI 0 3 6EI EI EI ] Balkelementen kan påföras last mellan knutpunkterna. De krafterna räknas om till knutpunktskrafter med elementarfall för de aktuella lasterna. Knutpunktskrafterna adderas sedan in i den globala lastvektorn på liknande sätt som temperatur läggs in i lastvektorn för ett fackverk. Bidrag från laster på lokala element adderas in i motsvarande positioner i kraftvektorn. Q = NoEl i=1 (6) (7) (8) Q ei (9) På samma sätt adderas föreskrivna lokala förskjutningar in i den globala förskjutningsvektorn Transformationsmatris u = NoEl i=1 u ei (10) Om har en godtycklig riktning i x-y-planet måste lokala x-koordinater översättas till koordinater i x-y-planet. Det görs med hjälp av en transformationsmatris. Balkens ändar denieras av x,y koordinater för respektive ände (1,), dvs 4

6 Rambärverk 5 Balkens längd beräknas då ur x = x 1 y 1 x y (11) Transformationselementen beräknas som = (x x 1 ) + (y y 1 ) (1) cos α = x x 1 (13) sin α = y y 1 Transformation från globala förskjutningar till balkens lokala förskjutningar D = cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α Då kan den lokalt denierade förskjutningen i balkens ändar i globala koordinater beräknas ur (14) (15) u e = D u (16) Transformation från lokala till globala koordinater för kraft beräknas ur F = D T F e (17) Att transformera den lokala styvhetsmatrisen från lokala koordinater till globala görs med K = D T K e D (18) Hela rambärverket För att kunna beräkna deformationer och krafter för ett helt rambärverk måste man etablera ett globalt ekvationssystem. Det görs genom att de enskilda balkelementens komponenter (vektorer och matriser) adderas in i fackverkets komponenter. Ekvationssystemet för hela fackverket får den generella formen F = K u (19) där elementen i styvhetsmatrisen är summan av styvhetsmatriserna för varje enskild balk. Då måste man identiera vilka globala frihetsgrader stängernas lokala frihetsgrader motsvarar. Antag att frihetsgraderna i ände 1, (u x1, u y1, u 1 ), motsvaras av frihetsgraderna 5

7 Rambärverk 6 (u xi, u yi, u i ) och i ände, (u x, u y, u ) motsvaras av (u xj, u yj, u j ). Då adderas balkens bidrag till styvhetsmatrisen som Strukturens styvhetsmatris kan då skrivas som Randvillkor K(i, j) = K(i, j) + K e (0) K = NoEl i=1 K ei (1) När rambärverkets globala ekvationssystem är formulerat införs randvillkor. Föreskrivna förskjutningar betecknas u p och övriga, fria förskjutningar u f. Index för föreskrivna frihetsgrader p och fria frihetsgrader f. Förskjutningar kan denieras i lokala eller globala koordinater och adderas in i systemet förskjutningsvektor. u p = u def () Vanligaste randvillkoren innebär förhindrad förskjutning i frihetsgraden och skrivs Givna yttre laster adderas in i lastvektorn F = u p = 0 (3) NoP j=1 F j (4) där NoP betecknar antal knutpunkter. Då har vi etablerat komponenterna i det globala ekvationssystemet ösa ekvationssystemet F = Ku (5) Dela upp ekvationssystemet så att frihetsgrader utan föreskriven förskjutning ges index f och frihetsgrader med föreskriven förskjutning får index p. [ ] [ ] [ ] Ff Kff K = fp uf (6) F p K pf K pp u p Beräkna förskjutningar och reaktionskrafter Fria förskjutningar beräknas ur Reaktionskrafterna beräknas därefter ur u f = K 1 ff (F f K fp u p ) (7) F p = [ K pf K pp ] u (8) 6

8 Rambärverk 7 Beräkna balkkrafter Krafterna vid knutpunkterna i varje enskild balk kan sedan beräknas ur F e = K T e D e u e (9) Resultat från beräkningar Vid dimensionering av rambärverk kan påkänningarna i enskilda balkar illustreras med hjälp av diagram över normalkraft, tvärkraft och moment. Det brukar även vara intressant att beräkna maximal normal- och skjuvspänning utifrån givna tvärsnittsdata. Problem 1. Beräkna knutpunktsförskjutningarna och nodkrafter för rambärverket i gur 1 om 1 = 5.0m, = 3.0m. Balkarna har areatröghetsmoment I = m 4 och A = m 4. Balkarna är tillverkade av ett material med elasticitetsmodul, E = 00 GPa. På knut läggs en horisontell last P = 10kN.. Beräkna knutpunktsförskjutningar och stödreaktioner om rambärverket i föregående uppgift om kraften byts mot en föreskriven förskjutning u x = 40mm. 3. Ramen i gur 4 har följande egenskaper: 1 = 5.0m, = 3.0m. Balkarna har areatröghetsmoment I = m 4 och A = m 4. Balkarna är tillverkade av ett material med elasticitetsmodul, E = 00 GPa. Knut och 3 i rambärverket en horisontell last P = 10kN. I knutpunkt verkar ett moment M = 0kNm. Beräkna samtliga knutpunktsförskjutningarna och reaktionskraften. Redovisning Redovisa lösningarna på problemen ovan i en individuell rapport. Rapporten ska innehålla en inledande teoridel, ett metodavsnitt där beräkningsalgoritmen beskrivs, en resultatdel där resultaten beskrivs, samt diskussion och slutsatser. Koden bifogas rapporten i en bilaga. Rapporten laddas upp i Moodle. Referenser [1] R. C. Hibbeler, Structural analysis, Pearson Education, 009 7

9 Rambärverk 8 Knut 3 Knut 4 Balk 5 Knut Balk Knut 5 Balk 1 Balk 3 Balk 4 Balk 6 Knut 1 Knut 6 1 Figure 4: Rambärverk med sex balkar. Två av knutpunkterna är låsta 1 och 6 de övriga är fria. 8