Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, , kl

Transkript

1 Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, , kl Maimal poäng på tentamen är 0. För godkänt tentamensresultat krävs 18 poäng. Tillåtna hjälpmedel: räknare, kursens formelsamling och Calfemmanual. Uppgift 1 (7 poäng) Ge svaren på bifogad svarsblankett. Ange för de nedanstående påståendena om de är rätt eller fel. +1/ poäng för varje rätt svar, -1/ för fel svar och 0 poäng om inget svar. Sammanlagt inte mindre än noll poäng. a) Det är tpiskt för andra ordningens teori att förskjutningarna (utböjningarna) och rotationerna i balken förutsättes vara små. b) Slutna tunnväggiga balktvärsnitt har i de flesta fall liten vridstvhet jämfört med öppna tunnväggiga balktvärsnitt. c) Yttröghetsmomenten runt de två vinkelräta alar som representerar ett balktvärsnitts huvudalar betecknas I η och I ζ. Påstående: om I η I ζ så är I η I I ζ för alla orienteringar av en -ael i tvärsnittets plan. d) Yttröghetsprodukten I =0 är alltid noll för smmetriska tvärsnitt, oavsett orienteringen av - och - alarna i tvärsnittets plan. e) För att kunna transformera stvhetsmatrisen för ett balkelement från elementets lokala koordinatssstem till ett globalt koordinatsstem är det tillräckligt att känna de globala koordinaterna för balkens ändpunkter. f) För att kunna transformera stvhetsmatrisen för ett stångelement från elementets lokala koordinatssstem till ett globalt koordinatsstem är det tillräckligt att känna riktningen på den enhetsvektor som definierar stångens orientering i det globala koordinatsstemet. g) Rotationsderivatan (=vridvinkelderivatan=förvridningen) ϕ kan anges i radianer/m och nedböjningsderivatan v kan för små nedböjningar anges i radianer. h) I St Venants vridteori antages att välvning av ett balktvärsnitt kan uppkomma och ske fritt, utan något hinder. i) I Timoshenkos balkteori kopplas skjuvspänning till skjuvtöjning. j) I Bernoulli-Eulers balkteori bestämmes skjuvspänning orsakad av tvärkraft genom att ställa upp en kraftjämvikt för krafter i balkens längsriktning. k) Både Timoshenkos balkteori och Bernoulli-Eulers balkteori förutsätter att plana balktvärsnitt förblir plana vid belastning som ger normalkraft, tvärkraft och/eller böjmoment i balken. l) Sektoriell koordinat beräknas genom att summera (integrera) hävarm gånger ta, dvs för onormerad sektoriell koordinat: Ω( s) = h(s) da A s m) Med sned böjning menas att utböjningen av en balk inte sker i lastens riktningen. Påstående: om kraftens (lastens) verkningslinje går genom skjuvcentrum kan sned böjning inte uppkomma för balkar med dubbelsmmetriskt tvärsnitt. n) Med :a ordningens teori kan man bara beräkna om och när det uppkommer någon utböjning skild från noll (instabilitet, knäckning), man kan med :a ordningens teori aldrig räkna ut utböjningars storlek.

2 Uppgift ( poäng) Ge svaret på bifogad svarsblankett. P Tngdpunkt Skjuvcentrum Figuren bredvid visar den fria änden av en konsolbalk. Balktvärsnittet är enkelsmmetriskt med tngdpunkt och skjuvcentrum som markerat. På konsolbalkens fria ände verkar en transversell punktlast P vars verkningslinje går genom tvärsnittets tngdpunkt. Visa med en skiss om/hur balktvärsnittet kommer att förskjutas och/eller rotera som följd av lasten P. Det skall framgå var tngdpunkten hamnar i förhållande till verkningslinjen (på eller bredvid linjen) och om/hur tvärsnittet roterar. Uppgift 3 (++=8 poäng) 5 mm Tngdpunkt Figuren visar ett tunnväggigt balktvärsnitt. Balken är gjord av ett isotropt material. Yttröghetsmomentet runt -aeln är I = 967 mm. a) Beräkna var tvärsnittets tngdpunkt finns. b) Beräkna ttröghetsmomentet I och ttröghetsprodukten I. c) Beräkna -koordinaten för den punkt där tvärsnittets vridcentrum finns.

3 Uppgift (+3+5=10 poäng) Vänster balk 300 mm q = 0 kn/m 500 mm q = 0 kn/m L = 10 m ω 10 ω 0 S ω 0 S ω Balk HEB 500: t liv =1.5 mm t fläns =8.0 mm A = 3860 mm I = mm I = mm K v = mm I ω = mm 6 ω 0 = mm Stål: E = N/mm G = N/mm S = mm ω0 Man överväger att bgga en enkel bro av två fritt upplagda standardstålbalkar med I-tvärsnitt HEB 500. Mellan balkarna skall läggas betongelement, vilande på balkarnas undre fläns. Belastning och balkarnas utformning och tvärsnittsdata anges i figuren. (Balkarna skall ha livavstvningar vid upplag, ej visade i figuren.) Vänster balk studeras. Beräkningar mha grundekvationerna för balkböjning och blandad vridning har tillsammans med aktuella randvillkor, balkgeometri, materialdata och belastning gett att v () = 0 w() = ( )10 ϕ () = 0.013cosh(0.555) sinh(0.555) där v är tvärsnittets rörelse i -riktning, w är rörelsen i -riktning och ϕ är rotationen, allt med vridcentrum som referenspunkt. Enheten för längd är m och enheten för vinkel är radian. a) Beräkna horisontell och vertikal rörelse av punkten (,, ) = (5.0 m, 150 mm, 50 mm). b) Beräkna maimal dragande normalspänning σ i balken och ange i vilken punkt denna spänning uppkommer. c) Beräkna för ett tvärsnitt invid vänster upplag (dvs omedelbart till höger om snittet =0) skjuvspänningen i punkten (, )=(7.5 mm, 0) och också i punkten (, )=(-7.5 mm, 0). Skjuvspänningarnas tecken behöver inte anges, bara deras storlek. Ledning: d(cosh()) /d=sinh() och d(sinh())/d=cosh()

4 Uppgift 5 (7 poäng) q L/ L L/ I-balkar, som är utformade, upplagda och belastade enligt figuren, är tillverkade av trä och användes för att bära betonggjutformar. De har fördelen att vara lätta att hantera. För att få plana betongtor är det viktigt att balkarna inte böjer ner allt för mcket när de belastas. Därför behöver man kunna beräkna balkarnas nedböjning. Eftersom det handlar om trä, korta spännvidder och I-tvärsnitt måste måste skjuvdeformationen i balken beaktas för att få hgglig noggrannhet vid beräkningen. Ta fram ett beräkningsuttrck för nedböjningen (= uppböjningen i -riktning ) av balken, v(), som funktion av för 0 L. Nedböjningen skall anges i q, L, E, G, A, I och K, där E är träets E- modul, G är träets skjuvmodul, A är balkens tvärsnittsarea, I är tvärsnittets ttröghetsmoment och K är skjuvkorrektionsfaktorn (K /3 för aktuellt tvärsnitt.) Ange speciellt nedböjningen i punkten =L/. Ledning: De två grundekvationerna som beskriver balkböjning enligt Timoshenkos teori EI EI θ = v IV q + EI /(GAK) q = q har den homogena lösningen θ = 3A + B + 6αA + C 3 v = A + B + C + D, där A, B, C och D är fra konstanter och där α = EI /(GAK), och för konstant fördelad last q är den partikulära lösningen 3 q θ = 6EI q v = EI q GAK

5 Uppgift 6 (5+1=6 poäng) Man önskar kunna beräkna hur lång en pelare kan göras innan den knäckes av sin egenvikt. Därför behövs ett beräkningsuttrck för knäcklast vid fördelad belastning. q Pelaren är ledad i båda ändar, dess längd är L och dess tvärsnitt är dubbelsmmetriskt med ttröghetsmomenten I och I, där I I. Materialets elasticitetsmodul är E. Den längs pelaren fördelade aiella lasten som representerar egenvikten är q (kraft/längdenhet). L a) Beräkna ett approimativt uttrck för instabilitetslasten q cr! Gör beräkningen genom att ansätta någon utböjningsform. Kontrollera randvillkoren! I aktuellt fall behöver endast böjknäckning beaktas, inte vridknäckning eller kombinerad böj- och vridknäckning. b) Använd det erhållna beräkningsuttrcket för att bestämma den längd L som ger knäckning av en pelare som är gjord av trä och har kvadratiskt tvärsnitt med sidlängden a=0.05 m. För träet kan antas att E=1000 MPa och att q = a ρg = 0.05 m. 10 kg/m m/s = 10.1 N/m. Ledning: Grundekvation för utböjning v av en balk i -riktning är (om risk för vridning ej finns) enligt :a ordningens teori: EI d d v = q d v P d Origo är beläget i tvärsnittets tngdpunkt. -aeln är riktad längs balken. - och -alarna ligger i tvärsnittets huvudriktningar. q betecknar fördelad last i -riktning. P betecknar normalkraften i balken. P är definierad som positiv vid trckande normalkraft. P kan variera längs balken.

6 Svarstabell för uppgift 1 Delfråga (påstående) a b c d e f g h i j k l m n Påståendet är rätt (markera med krss) Påstående är fel (markera med krss) Svarsfigur för uppgift Skjuvcentrum P Tngdpunkt