LÖSNINGAR. TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)

Transkript

1 ÖSNINGAR DE 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Spänningarna i en balk utsatt för transversell last q(x) kan beräknas med formeln σ x M y z I y Detta uttryck är relaterat (kopplat) till ett koordinatsystem Oxyz. Ange vad de ingående storheterna är, inklusive koordinatsystemets läge och orientering av koordinatriktningarna x, y och z. Ange enhet på ingående storheter. Koordinatsystemets origo ligger... i balktvärsnittets tyngdpunkt. x-axeln ligger... längs balken (m) y-axeln ligger... tvärs balken, oftast horisontellt (m) z-axeln ligger... tvärs balken, oftast vertikalt (m) σ x är... normalspänningen i tvärsnittet (a) M y är... böjmomentet med avseende på y-axeln (Nm) z är... z-koordinaten, en balkfibers (punkts) avstånd från y-axeln (m) I y är... yttröghetsmomentet med avseende på y-axeln (m 4 ). 2. I en balk kan man i ett allmänt fall ha (minst) sex olika snittstorheter. Ange de sex snittstorheter vi studerat i kursen och lägg in dem i en figur. En axialkraft N, två tvärkrafter T y och T z, ett vridande moment M x M v och två böjande moment M y och M z, se figur 4, Kapitel 11 i läroboken. M y T y T z N M x M z 8

2 DE 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) NAMN.... Ett rätblock av linjärt elastiskt material (materialparametrar E och ν) är utsatt för en spänning σ x i x-riktningen (spänningar i y- och z-led är noll). Ange töjningen ε y i y-led och ε z i z-led. ε y ν σ x E och ε z ν σ x E 4. En konsolbalk AB (längd 2, böjstyvhet 2EI) belastas vid sin fria ände B med en kraft (N), A 2, 2 EI B se figur. Man finner att ytterändens förskjutning, EI blir för stor, varför man stödjer ytteränden med C D ytterligare en kosolbalk CD (längd, böjstyvhet αei). Bestäm den böjstyvhet man bör välja hos balken CD (bestäm α) för att lasten skall bäras med hälften i varje balk (d v s CD ska bära lasten /2). Elementarfall: Konsolbalk w(x) 6EI x 2 x, EI 2 z w(x) x w() w () 2 EI 2EI q 0 (N/m) w(x) q EI x x + 6 x 2 2 z, EI w(x) x w() q 0 4 8EI w () q 0 6EI Kraften /2 förs över till balken CD. asten på balken AB blir då också /2. Samma förskjutning av balken AB vid B och balken CD vid C ger vilket ger α 1/4. ( / 2)(2) 2EI 9 ( / 2) αei

3 DE 2 - (roblemdel med hjälpmedel) t 6 mm 5. Ett rör med tvärsnitt enligt figur (en likbent triangel) utsätts för ett vridande moment. Bestäm maximal skjuvspänning τ i röret och vridvinkeln Θ för röret. Tvärsektionen är tunnväggig med mått enligt figur. Rörmaterialet har E-modul E 206 Ga och b 100 mm tvärkontraktionstal ν 0,. Röret har längden 1,5 m och det belastas med ett vridande moment M v 4 knm. Maximal skjuvspänning fås ur τ max M v M v , Ma W v 2At min 2 ( / 2) 0, 006 h 80 mm Vridvinkeln blir Θ M v M v G K v { E/2(1 +ν)} 4A 2 / (1/t) ds , 5 { /2, 6} 4 (0, 1 0, 08/2) 2 0, 006 /(0, , 0944) 0, 0569 rad, 26 o 10

4 DE 2 - (roblemdel med hjälpmedel) x, EI stel A B C 6. En konstruktion ABC, fritt upplagd i A och C, består av en elastisk del AB med längd och böjstyvhet EI och en del BC (längd ) som är stel (d v s EI för del BC). Konstruktionen belastas i B av en kraft. Bestäm delen AB:s maximala utböjning. Använd differentialekvation och randvillkor för delen AB. Tips: randvillkoren i C måste översättas (överföras) till lämpliga randvillkor i B. x Stödreaktionen vid stöd A blir /2. Det ger A C böjmoment M B /2 i balken vid B (detta är, EI ett ranvillkor). B /2 Differentialekvationen för balken (delen AB) lyder EI w IV q(x)0 med lösning x w(x)c C x C x + C 4 Randvillkor: RV1: w(0) 0 ger C 4 0 RV2: M(0) 0 ger C 2 0 RV: M() /2 ger EI w () /2, som ger (med C 2 C 4 0) EI (C 1 ) /2, vilket ger C 1 /2EI. RV4: (Ett randvillkor på tvärkraften T, dvst() /2 ger inget nytt.) Det sista randvillkoret måste läggas på w(). Man får (förskjutningen i C är noll) w() +w () 0, som ger (med C 2 C 4 0) C C + 2 C C 0 som ger C C 2 1 Man får w(x) 12EI (x 2 2 x) (a) Bestäm slutligen maximivärdet av w(x). w (x) 0 ger x 2/ 0, 816, som i (a) ger w(0,816) 0,0907 /EI. 11

5 DE 2 - (roblemdel med hjälpmedel) stelt ok k F1 a mg a k symmetri mg F2 7. Ett plankbit (ett ok, längd 2a) vilar horisontellt på två identiska fjädrar med fjäderstyvhet k. inus staplar (stela) lådor centriskt på oket (plankbiten) och står själv på den översta lådan. inus har massan m (tyngden mg), se figur. Hur högt (bestäm ) kan inus stapla lådor på varandra innan anordningen mister sin stabilitet? Fjädrarnas deformation sker vertikalt och i papperets plan (d v s ingen skjuvning av fjädrarna, endast ihoptryckning av dem). ådornas massa försummas. Anta att inus staplar lådor på varandra så att stapeln blir hög. Stapeln belastas längst upp med lasten mg (inus står själv på stapeln). Ge systemet en liten störning (en liten snedställning φ), se figur. Utböjande moment blir M ut mg sinφ Återförande moment blir M åt F 2 a cosφ F 1 a cosφ Sätt medelvärdet av fjädrarnas hoptryckning till δ. Då fås fjäderkrafterna F 1 och F 2 som F 1 k (δ a sinφ) och F 2 k (δ + a sinφ) vilket ger M åt k (δ + a sinφ) a cosφ k (δ a sinφ) a cosφ2k a 2 sinφ cosφ Inför sin φ φoch cos φ 1. Då momenten exakt balanserar varandra råder jämvikt (i utböjt läge). Det ger mg φ 2ka 2 φ 0 som ger (mg 2ka 2 )φ0 Vinkeln φ kan bli skild från noll bara då uttrycket inom parentes blir noll. Detta ger kritisk last (eller som här, kritisk höjd för lasten mg). Stapeln når kritisk höjd (den höjd då mg blir kritisk last) då 2ka 2 / mg (Man noterar att en lätt person kan stå på en högre stapel än en tung person.) 12

6 DE 2 - (roblemdel med hjälpmedel) 8. Spänningen i en punkt i ett material ges av spänningsmatrisen (spänningar i Ma) S (a) Bestäm effektivspänningen enligt Tresca i materialet. (b) Kommer materialet att plasticera (enligt Trescas hypotes) om det har sträckgränsen σ s 90 Ma? (a) För att bestämma effektivspänningen enligt Tresca måste vi först bestämma huvudspänningarna. Huvudspänningarna fås genom att man sätter determinanten (S - σi) till noll. Man får 50 σ 50 0 S σi σ σ Detta ger tredjegradsekvationen (50 σ) 50 2 (50 σ)0 Denna ekvation har rötterna (huvudspänningarna sorterade i storleksordning) σ Ma σ 2 50 Ma och σ 0 Effektivspänningen (enligt Trescas hypotes) blir σ T e σ hsp max σ hsp min Ma (b) Eftersom sträckgränsen är σ s 90 Ma och effektivspänningen är 100 Ma kommer materialet att plasticera. (Det innebär att det givna spänningstillståndet inte kan uppnås i materialet). 1