Belastningsanalys, 5 poäng Tvärkontraktion Temp. inverkan Statiskt obestämd belastning

Transkript

1 Tvärkontraktion När en kropp belastas med en axiell last i en riktning förändras längden inte bara i den lastens riktning Det sker en samtidig kontraktion (sammandragning) i riktningar tvärs dragriktningen. Fenomenet kallas tvärkontraktion och är materialberoende (olika material har olika stor tvärkontraktion). I kraften längsriktning gäller, som förut att töjningen är δ ε long =, där δ är förlängning i axiell led och L är ursprunglig längd. L I radiella riktningen, tvärs mot den axiella riktningen gäller (med bokens beteckningar) ε lat δ = r För töjningen i tvärriktningen har experiment visat att följande samband gäller ν ε ε lat = där υ (ny) är Poissons tal eller tvärkontraktionstalet. long Minustecknet säger att dimensionerna minskar tvärs belastningen om kroppen förlängs i axiella riktningen (och vise versa). P. Carlsson 1

2 Poissons tal υ är en materialkonstant liksom E- och G-modulerna. Det finns ett samband mellan de tre materialkonstanterna υ, E och G. Man kan visa att följande samband gäller: G = E 2(1 + υ) Man kan alltså, om t.ex. elasticitets- och skjuvmodul (E och G) är kända räkna ut Poissons tal för ett material. I det allmänna, fleraxliga fallet med belastningar i flera riktningar blir sambanden mer komplicerade mellan töjningar, mer om detta senare. Ex 1. En provstav av aluminium har en diameter d 0 = 25 mm och en ursprunglig mätlängd L 0 = 250 mm. Om staven vid en belastning av 165 kn förlängs 1.20 mm, bestäm vilken E-modul staven har. Bestäm också hur stor diameterminskningen blir under belastningen. Vi förutsätter att mätningen sker inom det elastiska området och att G al = 26 GPa. Svar: E al = 70GPa, Δd = -0,0415 mm P. Carlsson 2

3 Temperaturens inverkan - Värmespänningar Temperaturändringar kan orsaka att ett material ändrar dimensioner Det vanliga är att material utvidgar sig vid temperaturhöjningar och krymper vid fallande temperatur. Som regel finns ett linjärt samband mellan dimensionsändringarna och temperaturändringarna och sambandet brukar tecknas δ T = αδtl där α är en materialkonstant, den s.k. temperaturutvidgningskoefficienten (coefficient of linear expansion), ΔT är temperaturskillnaden, L är ursprungslängden och δ T är förlängningen på grund av temperaturändringen. Ett annat sätt att uttrycka sambandet på är där ε T = δ T /L. ε T = αδt I de fall där man också måste ta hänsyn till temperaturändring i materialet får Hookes lag utseendet σ ε = ε spänning + ε temperatur = + αδt E Ur uttrycket ovan kan man utläsa att om den totala töjningen ε förhindras (ε = 0) kommer lokala temperaturändringar att ge upphov till spänningar i materialet. Man får temperatur- eller värmespänningar i materialet. P. Carlsson 3

4 Ex 2. En linbana har en åklängd av 1200 m. Hur mycket ändrar sig längden på vajern mellan dag till natt om temperaturen sjunker från +5 o till -12 o? Vajern är av stål, α st = / o C. Svar: δ = 0,49 m (förkortning) Ex 3. En mässingscylinder är avpassad för att precis passa mellan två fasta väggar enligt figur när temperaturen är 18 o C. Bestäm hur stora värmespänningar det blir i cylindern om temperaturen stiger till 30 o C. Cylindern har diametern 50 mm, E m = 100 GPa och α m = / o C. Hur stor blir kraften mellan väggarna och cylindern efter temperaturhöjningen? 1 m Svar: σ = 25,2 MPa, F = N P. Carlsson 4

5 Statiskt obestämda, axiellt belastade kroppar Ett system kallas statiskt obestämt om det inte är möjligt att bestämma inre krafter i det genom att enbart ställa upp jämviktsekvationer. Även i till synes enkla anordningar kan statisk obestämdhet finnas. Ex 4. Nio armeringsjärn med 25 mm diameter (E = 200 GPa) används för att förstärka en kort pelare av betong (E = 30 GPa) enligt figur. En axiell last P = 650 kn läggs på överdelen som består av ett stelt lock som fördelar kraften jämt över ytan. Bestäm a) Normalspänningarna i betongen och armeringsjärnen. b) Hur mycket pelaren trycks ihop. Svar: a) σ st = 49,5 MPa, σ betong = 7,43 MPa b) δ = 0,149 mm P. Carlsson 5

6 En liknande typ av statisk obestämdhet uppträder i följande exempel. Här gäller inte längre att de okända deformationerna i materialen är lika stora. De är dock kopplade till varandra genom anordningens geometri. Ex 5. Balken AB har en längd av 4 m och är ledat upphängd vid väggen i punkt A. Balken hålls upp av två identiska aluminiumstänger med diametern 25 mm och E-modulen E al = 70 GPa. Bestäm krafterna och spänningarna i aluminiumstängerna då kraften 25 kn läggs i högra ändan enligt figur. Antag att balken AB är stel i förhållande till aluminiumstängerna. Balken egentyngd försummas. Svar: F CD = 10 kn, F EF = 30 kn, σ CD = 20,4 MPa, σ EF = 61,1 MPa P. Carlsson 6

7 Mer om material Vad går att utläsa ur ett σ - ε diagram? Ductile material = segt (duktilt) material Brittle material = Sprött material Det övre materialet kan ta upp högre spänningar vid motsvarande deformationer Vid alltför höga belastningar får man kvarstående deformationer i materialet. När det elastiska området överskrids uppför sig inte materialet som en fjäder längre, man säger att materialet plasticerar. P. Carlsson 7

8 Idealiserade materialmodeller Material a) Helt stelt material, deformeras inte ens av höga belastningar. b) Linjärt elastiskt material. c) Stelt perfekt plastiskt material d) Linjärt perfekt elastiskt material e) Stelt linjärt plastiskt material f) Linjärt elastiskt linjärtplastiskt Temperaturinverkan på hållfastheten Många material blir spröda vid låga temperaturer Material som är duktila (sega) vid normala temperaturer kan vid låga temperaturer uppföra sig som spröda material. Vid höga temperaturer börjar många material krypa (långsamt flyta). Aktuellt för t.ex. turbinskovlar i flygplansmotorer. P. Carlsson 8

9 Sprödbrott på grund av sämre, temperaturkänsligt stål i fartygsplåtarna (1943) Sprödbrott i dragprovstav P. Carlsson 9

10 Legeringsämnens inverkan på hållfastheten Stål kan genom olika legeringsämnen ges ökad hållfasthet. (De får med andra ord ökad förmåga att ta upp stora belastningar utan att plasticera eller brista.) Legeringsämnena påverkar i ganska ringa grad stålets E- modul, se diagram bredvid. P. Carlsson 10

11 Materialjämförelser Materialjämförelser i spännings töjningsdiagram. P. Carlsson 11